Самое примитивное:
1) уберите событие onclick с кнопки
2) В файл form.php закиньте код ниже (если файла нет - создайте в корне сайта):
<?php
if (isset($_POST["name"])) {
$recepient = "
[email protected]";//email на который отправлять
$sitename = "site.ru";//адрес сайта
$name =...